妻に家族カードでキャッシングやショッピングをされてしまいました…

残念ですが、家族カードの借金は、すべて契約者である本人に返済義務があります。
家族カードとは、クレジットカードの契約者本人だけではなく、配偶者など家族にも新たなクレジットカード(家族カード)が発行され、これを利用することができるというサービスです。
あくまでも、家族カードを利用できるに過ぎませんので、家族カードによって行われたキャッシングやショッピングの利用分は、クレジットカードの契約者である本人の借り入れとなります。
そのため、家族カードの使用管理は、契約者本人がしっかりと行わなければなりません。
また、本人が債務整理を行うと、信用情報機関にその情報が登録されます(任意整理の場合は5年、自己破産や民事再生の場合は5~10年)。
そのため、債務整理の対象となっていたクレジットカードの家族カードは使用できなくなります。